【大学最小二乘法例题及答案】最小二乘法是一种在数学和统计学中广泛应用的求解方法，主要用于处理数据拟合问题。在大学课程中，如线性代数、概率统计或数值分析等课程中，学生常常会遇到利用最小二乘法进行数据拟合的问题。本文将通过一个典型例题，详细讲解最小二乘法的应用过程，并以表格形式展示计算结果。
一、例题描述
给定一组实验数据点如下：
| x | y |
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
| 3 | 5 |
| 4 | 7 |
要求：使用最小二乘法拟合一元线性回归模型 $ y = a + bx $，并求出参数 $ a $ 和 $ b $ 的值。
二、最小二乘法原理简介
最小二乘法的核心思想是：找到一条直线，使得所有数据点到这条直线的垂直距离的平方和最小。对于一元线性回归模型 $ y = a + bx $，我们通过以下公式计算参数 $ a $ 和 $ b $：
$$
b = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum x^2 - (\sum x)^2}
$$
$$
a = \frac{\sum y - b \sum x}{n}
$$
其中：
- $ n $ 是数据点个数；
- $ \sum x $ 是所有 $ x $ 值之和；
- $ \sum y $ 是所有 $ y $ 值之和；
- $ \sum xy $ 是所有 $ x_i y_i $ 之和；
- $ \sum x^2 $ 是所有 $ x_i^2 $ 之和。
三、计算过程
根据题目给出的数据，我们先列出各项计算所需的中间结果：
| x | y | x² | xy |
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 4 | 6 |
| 3 | 5 | 9 | 15 |
| 4 | 7 | 16 | 28 |
接下来，计算各项总和：
- $ n = 4 $
- $ \sum x = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 $
- $ \sum y = 2 + 3 + 5 + 7 = 17 $
- $ \sum x^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 $
- $ \sum xy = 2 + 6 + 15 + 28 = 51 $
代入公式计算 $ b $ 和 $ a $：
$$
b = \frac{4 \times 51 - 10 \times 17}{4 \times 30 - 10^2} = \frac{204 - 170}{120 - 100} = \frac{34}{20} = 1.7
$$
$$
a = \frac{17 - 1.7 \times 10}{4} = \frac{17 - 17}{4} = 0
$$
因此，拟合的直线方程为：
$$
y = 0 + 1.7x = 1.7x
$$
四、结果总结（表格）
| 参数 | 计算值 |
| $ n $ | 4 |
| $ \sum x $ | 10 |
| $ \sum y $ | 17 |
| $ \sum x^2 $ | 30 |
| $ \sum xy $ | 51 |
| $ b $ | 1.7 |
| $ a $ | 0 |
| 拟合方程 | $ y = 1.7x $ |
五、结论
通过上述步骤，我们成功地利用最小二乘法对给定的数据进行了线性拟合，得到了最佳拟合直线 $ y = 1.7x $。该方法在实际应用中非常广泛，尤其适用于数据存在误差或噪声的情况下，能够提供较为准确的拟合结果。
如需进一步了解最小二乘法在非线性拟合或其他应用场景中的使用，请参考相关教材或资料。