【排列组合的公式】在数学中，排列组合是研究从一组元素中选取部分或全部元素进行排列与组合的方法。它们广泛应用于概率、统计、计算机科学等领域。掌握排列与组合的基本公式对于解决实际问题具有重要意义。
一、基本概念
- 排列（Permutation）：从n个不同元素中取出k个元素，按照一定顺序排成一列，称为排列。
- 组合（Combination）：从n个不同元素中取出k个元素，不考虑顺序，称为组合。
二、排列组合的公式总结
| 类型 | 公式 | 说明 |
| 排列（P(n, k)） | $ P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} $ | 从n个不同元素中取k个进行排列 |
| 组合（C(n, k)） | $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} $ | 从n个不同元素中取k个不考虑顺序 |
| 全排列（P(n, n)） | $ P(n, n) = n! $ | 所有n个元素的排列方式 |
| 重复排列（P(n, k) with repetition） | $ n^k $ | 每个位置可重复选择元素 |
| 重复组合（C(n, k) with repetition） | $ C(n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!} $ | 允许重复选取元素的组合方式 |
三、常见应用场景
- 排列：如安排座位、密码设置、比赛名次等。
- 组合：如选课、抽奖、抽签等。
四、示例解析
例1：排列
从5个不同的字母中选出3个进行排列，有多少种方法？
解：$ P(5, 3) = \frac{5!}{(5 - 3)!} = \frac{5!}{2!} = 60 $
例2：组合
从6个同学中选出2人组成小组，有多少种选法？
解：$ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6 - 2)!} = 15 $
五、注意事项
- 当题目中出现“顺序无关”时，使用组合；“顺序有关”时，使用排列。
- 若允许重复选取元素，则需使用重复排列或重复组合的公式。
- 阶乘（n!）表示n个数相乘，如：5! = 5×4×3×2×1 = 120
通过理解排列与组合的基本原理和公式，可以更高效地解决实际问题，并为后续学习概率论和统计学打下坚实基础。