【十字相乘法题目】在初中数学中，因式分解是重要的知识点之一，而“十字相乘法”则是解决二次三项式因式分解的一种常用方法。通过十字相乘法，我们可以快速地将形如 $ ax^2 + bx + c $ 的多项式分解为两个一次因式的乘积。
为了帮助大家更好地掌握这一方法，下面整理了一些典型的十字相乘法题目，并附上详细的解题过程与答案。
一、十字相乘法简介
十字相乘法适用于形如 $ x^2 + px + q $ 或 $ ax^2 + bx + c $（其中 $ a \neq 1 $）的二次三项式。其核心思想是将常数项 $ q $ 分解为两个数的乘积，使得这两个数的和等于中间项系数 $ p $（或 $ b $），从而完成因式分解。
二、典型题目及解答
| 题目 | 解题过程 | 答案 |
| 1. $ x^2 + 5x + 6 $ | 寻找两个数，乘积为6，和为5 → 2和3 所以分解为 $ (x+2)(x+3) $ | $ (x+2)(x+3) $ |
| 2. $ x^2 - 4x - 5 $ | 寻找两个数，乘积为-5，和为-4 → -5和1 所以分解为 $ (x-5)(x+1) $ | $ (x-5)(x+1) $ |
| 3. $ x^2 + 7x + 10 $ | 寻找两个数，乘积为10，和为7 → 2和5 所以分解为 $ (x+2)(x+5) $ | $ (x+2)(x+5) $ |
| 4. $ x^2 - 6x + 8 $ | 寻找两个数，乘积为8，和为-6 → -2和-4 所以分解为 $ (x-2)(x-4) $ | $ (x-2)(x-4) $ |
| 5. $ 2x^2 + 7x + 3 $ | 先将2拆成1×2，3拆成1×3 尝试交叉相乘：1×3=3，2×1=2 → 3+2=5 ≠7；再试1×1=1，2×3=6 → 1+6=7 所以分解为 $ (2x+1)(x+3) $ | $ (2x+1)(x+3) $ |
| 6. $ 3x^2 - 5x - 2 $ | 尝试拆分3为1×3，-2为-1×2 交叉相乘：1×(-2) = -2，3×1 = 3 → -2+3=1 ≠-5；再试1×2=2，3×(-1)=-3 → 2-3=-1 ≠-5；再试1×(-1)=-1，3×2=6 → -1+6=5 ≠-5；最后试1×(-2)=-2，3×1=3 → -2+3=1，不行；再试1×1=1，3×(-2)=-6 → 1-6=-5，符合 所以分解为 $ (3x+1)(x-2) $ | $ (3x+1)(x-2) $ |
三、总结
十字相乘法的关键在于准确找到合适的两个数，使它们的乘积等于常数项，同时它们的和等于中间项的系数。对于 $ ax^2 + bx + c $ 的形式，还需注意对首项系数 $ a $ 的合理拆分，以便进行交叉相乘验证。
通过多做练习，熟练掌握这种方法，能够大大提升因式分解的速度和准确性。希望以上内容能对大家的学习有所帮助。