【导数加减乘除公式】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握导数的加减乘除运算法则，有助于更高效地求解复杂函数的导数。以下是对导数基本运算规则的总结，并附上相关公式表格，便于查阅与理解。
一、导数的基本运算法则
1. 导数的加法法则
若函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在某点处可导，则它们的和的导数等于各自导数的和：
$$
\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)
$$
2. 导数的减法法则
同样地，差的导数等于各自导数的差：
$$
\frac{d}{dx}[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)
$$
3. 导数的乘法法则（乘积法则）
若函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 可导，则它们的乘积的导数为：
$$
\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
$$
4. 导数的除法法则（商法则）
若 $ g(x) \neq 0 $，则两函数的商的导数为：
$$
\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}
$$
二、常见函数导数表
| 函数表达式 | 导数 |
| $ C $（常数） | $ 0 $ |
| $ x^n $ | $ n x^{n-1} $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ a^x $（$ a > 0 $） | $ a^x \ln a $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
三、应用示例
例1： 求函数 $ y = x^2 + \sin x $ 的导数
$$
y' = 2x + \cos x
$$
例2： 求函数 $ y = x^3 \cdot \ln x $ 的导数
$$
y' = 3x^2 \cdot \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln x + x^2
$$
例3： 求函数 $ y = \frac{x^2}{\sin x} $ 的导数
$$
y' = \frac{2x \cdot \sin x - x^2 \cdot \cos x}{\sin^2 x}
$$
四、注意事项
- 在使用乘积法则或商法则时，注意顺序不要混淆。
- 对于复合函数，需结合链式法则进行求导。
- 多项式函数的导数可以通过逐项求导后相加得到。
通过掌握这些基础的导数运算法则和常见函数的导数公式，可以快速解决大多数初等函数的导数问题。熟练运用这些知识，将有助于进一步学习微积分中的更高阶内容。