【一元三次方程求根公式】在数学中，一元三次方程是形如 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ 的方程，其中 $ a \neq 0 $。求解这类方程的方法历史悠久，最早由意大利数学家塔尔塔利亚（Niccolò Tartaglia）和卡尔达诺（Gerolamo Cardano）等人提出，并在16世纪得到系统化发展。
一元三次方程的求根公式较为复杂，但可以通过代数方法逐步求解。以下是对该公式的总结与解析。
一、基本步骤
1. 标准化方程：将方程化为标准形式 $ x^3 + px + q = 0 $（即消去二次项）。
2. 引入变量替换：设 $ x = u + v $，通过代入原方程，可以得到关于 $ u $ 和 $ v $ 的关系式。
3. 建立方程组：通过设定条件 $ u^3 + v^3 = -q $ 和 $ 3uv = -p $，可解出 $ u^3 $ 和 $ v^3 $。
4. 求解三次方程：利用求根公式或数值方法求出 $ u^3 $ 和 $ v^3 $，进而得到 $ u $ 和 $ v $。
5. 求得实根：最终得到 $ x = u + v $，即为一个实根。
二、求根公式（卡当公式）
对于标准形式的一元三次方程：
$$
x^3 + px + q = 0
$$
其求根公式如下：
$$
x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}
$$
此公式也被称为卡当公式（Cardano's formula）。
三、判别式与根的性质
一元三次方程的根的性质可通过其判别式 $ \Delta $ 判断：
$$
\Delta = \left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3
$$
| 判别式 $ \Delta $ | 根的情况 |
| $ \Delta > 0 $ | 有一个实根和两个共轭复根 |
| $ \Delta = 0 $ | 有三个实根，至少有两个相等 |
| $ \Delta < 0 $ | 有三个不等的实根 |
四、表格总结
| 内容 | 说明 |
| 方程形式 | $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ |
| 标准形式 | $ x^3 + px + q = 0 $ |
| 求根公式 | $ x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} $ |
| 判别式 | $ \Delta = \left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3 $ |
| 根的类型 | 根据判别式判断实根与复根的数量 |
五、注意事项
- 卡当公式适用于所有一元三次方程，但在某些情况下可能会涉及复数运算。
- 实际应用中，若判别式为负，可能需要使用三角函数法来简化计算。
- 现代计算机算法常采用数值方法（如牛顿迭代法）求解高次方程，避免复杂的代数运算。
通过以上内容，我们可以对一元三次方程的求根公式有一个全面的理解。虽然其表达方式较为复杂，但它是数学史上的一项重要成就，为后续代数的发展奠定了基础。