【等比数列前n项和公式等比数列前n项和公式Sn】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。等比数列的前n项和公式是求解这类数列前n项总和的重要工具，广泛应用于数学、物理、经济等多个领域。
一、等比数列前n项和公式概述
对于一个等比数列，首项为 $ a $，公比为 $ r $（$ r \neq 1 $），其前n项和 $ S_n $ 的计算公式如下：
$$
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
当 $ r = 1 $ 时，数列的所有项都相等，此时前n项和为：
$$
S_n = a \cdot n
$$
该公式适用于所有等比数列的求和问题，是解决实际问题的重要工具。
二、公式推导简要说明
等比数列前n项和的公式可以通过以下方法推导：
设等比数列前n项和为：
$$
S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}
$$
两边同时乘以公比 $ r $，得到：
$$
rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^n
$$
将两式相减：
$$
S_n - rS_n = a - ar^n
$$
即：
$$
S_n(1 - r) = a(1 - r^n)
$$
因此：
$$
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
当 $ r = 1 $ 时，公式不适用，需单独计算。
三、常见情况对比表
| 公比 $ r $ | 公式表达式 | 适用条件 | 示例 |
| $ r \neq 1 $ | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | 一般情况 | $ a=2, r=3, n=4 $，则 $ S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 80 $ |
| $ r = 1 $ | $ S_n = a \cdot n $ | 所有项相同 | $ a=5, r=1, n=6 $，则 $ S_6 = 5 \times 6 = 30 $ |
四、应用举例
例1：
已知等比数列首项 $ a = 3 $，公比 $ r = 2 $，求前5项和。
$$
S_5 = 3 \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{1 - 32}{-1} = 3 \cdot 31 = 93
$$
例2：
若 $ a = 4 $，$ r = 1 $，求前7项和。
$$
S_7 = 4 \times 7 = 28
$$
五、总结
等比数列前n项和公式是解决等比数列求和问题的核心工具。根据公比的不同，公式也有所变化。掌握这一公式不仅有助于理解数列的性质，还能在实际问题中快速计算总和。通过表格形式的整理，可以更清晰地比较不同情况下的应用方式，提升学习效率。
关键词： 等比数列、前n项和、公式、公比、首项、求和方法